前回、二項定理について説明しました
これに関するところとして、数学Aの「場合の数と確率」より反復試行の確率についてお話しします
確率って苦手意識持っている人多いですよねー
状況から計算方法を判断する、すべての状況を見極めるって難しいと思います
だからこそ、練習が必要なんですよね
苦手意識のある人の一助になればと思います
反復試行ってどんな状況?
最初は真面目な言い方をしましょう
ある試行を行うと、確率pで出来事Aが起こるとします
この思考をn回繰り返し行い、出来事Aがx回起きる時の確率を考えたい
こんな時に反復試行の確率を考えます。
(状況例)
コインを10回投げて、表が3回出る確率を考えたい
サイコロを20回振って、1が10回でる確率を考えたい
100分の1の確率で不良品が出てしまう工場で、1万個の製品を作り不良品が10個でおさまる確率を考えたい
くだけた言い方をすると、
同じことを何回も繰り返した時に「こんなとき!」が起こる確率を考えたい
という時に反復試行を使います
「反復試行の確率」考え方と計算
確率が ![Rendered by QuickLaTeX.com \[\frac{1}{10}\]](https://longfeetpenguin-yakitoriteacher.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b47d679652d396e3c7d81ad0a9f00b5d_l3.png)
で「大吉」が出るくじ引きがある
これを5回引いて、3回「大当たり」が出る確率を考えたい
ただし、くじは1度引いたら元に戻す
ここで1つ、見逃してはいけない部分があります。
「くじを引いたら元に戻す」とありますね
くじを引いたら出てきた「小吉」とか「凶」とか書いてあるものを、2回目を引く前に元に戻すということです
これをやることで、
「1回目で大吉出ちゃったら2回目の人は大吉出にくくなるやん!」
ってことがなくなります
つまりは、1回目も2回目も、5回目も全て同じ条件下でくじを引くことになります
この状態が「同じ条件下で複数回行う試行」ということです
反復試行は、YES or NO. の2択です
今回は問題文に「大吉が出る確率」と書いてあるので、「大吉」と「それ以外」という認識をしましょう
こういう関係性を「二律背反」なんて言いますよね
あれこれ詳しく考えたくなる気持ちはわかりますけど、グッと堪えて…
確率は、要素同士が”and”で繋がっているときはかけ算、”or”で繋がっているときは足し算をします
今回は、「5回中3回大吉が出る」ということですから、
大吉が3回、andで繋がっています
(or だと、1回・2回の2パターンが発生してしまいますね)
同じ理由で、「それ以外」が2回andで繋がっています
さらに、「大吉3回」と「それ以外2回」もandで繋がっています
これらをまとめると、「5回中3回大吉が出て、2回それ以外が出る」という確率は次のようになります
\left( \frac{1}{10} \right)^3×\left(\frac{9}{10}\right)^2
まだ終わらないでください!
「5回中3回大吉が出る」というのはどれくらい起こりやすいのか、まだ式に表していません
そもそも「5回中3回大吉が出る」ってどんな状況なんでしょう?
・最初に大吉を3連続で引いて、あとは「それ以外」をひくパターン?
・1、3、5回目に大吉を引いて、2、4回目に「それ以外」をひくパターン?
いずれも「5回中3回大吉が出る」という状況です
出る順番については問題文は何も言っていませんから、大吉が3回出てくれればそれでいいんでしょうね
これを「出やすさ」とした場合、全部でどれくらいのパターンがあるのでしょう
こういうときは、「枠」を考えるとわかりやすくなります
1番目_____ 、2番目_____、3番目_____、4番目_____、5番目_____
このうち3つに「大吉」が入り、残り2つに「それ以外」が入ります
入れる場所を選べばいいのですから、
_{5}C_{3}通り
となりますね
以上をまとめます
「5回中3回大吉が出る」は、
通り起こると考えると
P(くじを5回連続でひき、確率
の大吉が3回でる)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[ $={_{5}C_{3}}\cdot{\left(\dfrac{1}{10}\right)^3}\cdot{\left(\dfrac{9}{10}\right)^2}$\\ \\ $=\dfrac{5\cdot4\cdot3}{3\cdot2\cdot1}$$\dfrac{1}{10^3}$$\dfrac{81}{10^2}$\\ \\ $=\dfrac{10\cdot1\cdot81}{10^5}$\\ \\ =\dfrac{81}{10000} \\ \]](https://longfeetpenguin-yakitoriteacher.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-96ffb72925e1dee0f35bf7e264541059_l3.png)
となります
最後に反復思考の一般系をまとめます
ある試行を1回行うと、確率
でAという結果が得られるとする。
この試行を
回繰り返し行い、
回結果Aが得られる確率
は
![Rendered by QuickLaTeX.com \[ P=_{n}C_{x}\cdotp^{x}(1-p)^{(n-x)} \]](https://longfeetpenguin-yakitoriteacher.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4b75e17afcf49e5fa0a791b9ea08175a_l3.png)
と表すことができる。
また、
とおくと
![Rendered by QuickLaTeX.com \[ P=_{n}C_{x}\cdotp^{x}q^{(n-x)} \]](https://longfeetpenguin-yakitoriteacher.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-86109c198677fad7975a65123a7883ee_l3.png)
と見やすく表現することができる
反復試行と二項定理は同じ考え方
反復試行の確率は少しでもわかってもらえたでしょうか
この反復試行の確率の考え方は、二項定理と一緒です
こんな感じです。似てますでしょ?
● 「Aとそれ以外」のように2択であること(このような試行のことを、ベルヌーイ試行といいます)
● 同じ試行を繰り返すこと
この2つの条件に当てはまったら、二項定理や反復試行のような考え方ができる、と理解しておくといいですよ
[おまけ]二項分布(統計)
確率
で結果Aが起こるベルヌーイ試行を何度も繰り返す状況を考えます
回行ったうち、
回結果Aが起こるときの確率は、二項分布という分布の仕方をします
このとき、二項分布のグラフを表す式は(確率密度関数)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[ f(x)=_{n}C_{x}・p^x・(1-p)^{n-x} \]](https://longfeetpenguin-yakitoriteacher.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d4134b7737e83cbbc6fbfebce861441f_l3.png)
平均値
分散
これの詳しい説明は、次の機会にします
統計検定を取るべく、私も統計の勉強中です
ブログとか期末試験とかと時期が被っちゃっているのでちょっとスピードが出ていませんが…頑張ります!
それではまた!
Latexできた!!!!!